Karnaugh Map

 METODE KARNAUGH MAP

 A. PENGERTIAN KARNAUGH MAP

        Karnaugh Map atau K-Map adalah suatu teknik penyederhanaan fungsi logika yang paling mudah dengan cara pemetaan. K-Map terdiri dari kotak-kotak yang jumlahnya terdiri dari jumlah variable dan fungsi logika atau jumlah inputan dari rangkaian logika yang sedang kita hitung. Karnaugh Map Method (metode peta Karnaugh ) adalah metode untuk menyederhanakan persamaan aljabar Boolean. Metode ini pertama kali diperkenalkan oleh Maurice Karnaugh pada tahun 1953 yang merupakan penyederhanaan dari metode Veitch Chart (Kartu Veitch).

B. LANGKAH-LANGKAH K-MAP

1. Pastikan terlebih dahulu persamaan Boolen berada dalam bentuk standar. Dalam hal ini saya menggunakan standar SOP (Sum Of Product). Contoh :

            

       2. Susun tabel kebenaran untuk persamaan di atas.

           3. Buat peta Karnaugh dengan jumlah kotak 2n dengan n = banyaknya variabel. Dari                 contoh di atas, terdapat 3 variabel sehingga kotak peta Karnaugh adalah 23 = 8                     kotak. Dan masukkan minterm (m) dari tabel kebenaran ke dalam kotak yang                     sesuai.

            4. Buat loop atau kelompok pada minterm-minterm yang berdekatan dengan                         banyaknya anggota kelompok 1, 2, 4, 8 atau 16 supaya dapat dihilangkan minterm              yang berlawanan.

            Pada tabel Karnaugh di atas terdapat kelompok dengan 2 anggotam minterm yaitu kelompok biru dan kelompok merah. Masing-masing kelompok beranggotakan 2 minterm. Maka persamaan minimum dapat diperoleh dari gabungan minterm yang ada pada tiap-tiap kelompok yaitu :

        5. Tulis ulang bentuk minimum dari persamaan aljabar Boolean yaitu :

            

        6. Buat rangkaian digital dengan menggunakan persamaan minumum pada no 5

                Metoda peta Karnaugh sangat berguna dan efektif untuk mendesain rangkaian digital terutama                 untuk rangkaian-rangkaian digital dengan banyak variabel.

C. JENIS JENIS K-MAP

1. K-Map 2 Variabel

        Contoh :

        F = AB + A'B + AB'

          Penyelesaian :

• Gambarkan K-Map Model-1 untuk dua variabel
• Ganti kotak-kotak yang sesuai untuk AB, A'B, dan AB, dengan angka satu (1) dan sisanya dengan angka nol (0)

• Gabungkan semua angka satu (1) sesederhana mungkin. Untuk mempermudah dapat menggunakan pemetaan K-Map dua variabel.

• Hasil penyederhanaan dari F = AB + A'B + AB' adalah F = A + B
  

     Perbandingan dengan cara Aljabar:

     F = AB + A'B + AB'    = A (B+B') + A'B    = A (1) + A'B    = A + A'B    = A + B (Teorema T9)

    2. K-Map 3 Variabel

        Contoh :

        F = ABC' + AB'C' + AB'C + ABC

        

        Penyelesaian :

• Gambarkan K-Map Model-1 untuk 3 variabel kemudian tandai dengan angka satu (1) setiap kotak yang mewakili ABC', AB'C', AB'C, dan ABC, sisanya diisi dengan angka nol (0)

• Gambarkan pemetaan K-Map untuk 3 variabel yang paling mendekati dan paling sederhana. Pada kasus ini area A pada K-Map dapat mewakili semua variabel dalam soal.
  
  
• Hasil penyederhanaan dari F = ABC' + AB'C' + AB'C + ABC adalah F = A
  
  Perbandingan dengan aljabar :

        F  = ABC' + AB'C' + AB'C + ABC    

            = AB (C'+C) + AB' (C'+C)    

            = AB (1) + AB' (1)    

            = AB + AB'    

            = A (B+B')    

            = A (1)    

            = A

Perbandingan dengan software Karnaugh Map Explorer 1.0

    

3. K-Map 4 Variabel

    F = A'BC'D + ABC'D + A'BCD + ABCD

    

    Penyelesaian :

• Gambarkan K-Map Model-1 untuk 4 variabel kemudian tandai dengan angka satu (1) setiap kotak yang mewakili A'BC'D, ABC'D, A'BCD, ABCD, sisanya diisi dengan angka nol (0).
  
• Gambarkan pemetaan K-Map untuk 4 variabel yang paling mendekati dan paling sederhana. Pada kasus ini area B dab D pada K-Map dapat mewakili semua variabel dalam soal.
  
  
• Hasil penyederhanaan dari F = A'BC'D + ABC'D + A'BCD + ABCD adalah F = BD
  

    Perbandingan dengan Aljabar:

    

    F  = A'BC'D + ABC'D + A'BCD + ABCD    

        = (A'+A) BC'D + (A'+A) BCD   

        = (1) BC'D + (1) BCD    

        = BC'D + BCD    

        = BD (C'+C)    

        = BD (1)    

        = BD
    Perbandingan dengan software Karnaugh Map Explorer

        

    4. K-Map 5 Variabel

        Mari kita gunakan Peta Karnaugh 5-variabel untuk digunakan. Rancang sirkuit yang memiliki input biner 5-bit (A, B, C, D, E), dengan A menjadi MSB (Bit Paling Signifikan). Ini harus menghasilkan logika keluaran High untuk setiap bilangan prima yang terdeteksi dalam data masukan.

       Kami menunjukkan solusi di atas pada peta kode Abu-abu (refleksi) yang lebih lama untuk referensi. Bilangan prima adalah (1,2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31). Plot 1 di setiap sel yang sesuai. Kemudian, lanjutkan dengan pengelompokan sel. Akhiri dengan menulis hasil yang disederhanakan.

        Perhatikan bahwa grup A’B’E 4 sel terdiri dari dua pasang sel di kedua sisi garis cermin. Hal yang sama berlaku untuk grup 2-sel AB'DE. Ini adalah sekelompok 2-sel dengan dipantulkan di sekitar garis cermin. Saat menggunakan versi K-map ini, carilah gambar cermin di bagian lain peta.

   Keluar = A’B’E + B’C’E + A’C’DE + A’CD’E + ABCE + AB’DE + A’B’C’D

Di bawah ini kami menunjukkan versi yang lebih umum dari peta 5-variabel, peta hamparan.

       Jika kita membandingkan pola di dua peta, beberapa sel di bagian kanan peta akan dipindahkan karena alamat di bagian atas peta berbeda. Kita juga perlu mengambil pendekatan berbeda untuk menemukan kesamaan antara dua bagian peta.
       Hamparkan satu separuh peta di atas separuh lainnya. Setiap tumpang tindih dari peta atas ke peta bawah adalah kelompok potensial. Gambar di bawah ini menunjukkan bahwa grup AB'DE terdiri dari dua sel bertumpuk. Grup A’B’E terdiri dari dua pasang sel yang bertumpuk.
     Untuk grup A’B’E dari 4-sel ABCDE = 00xx1 untuk grup tersebut. Yaitu A, B, E adalah sama masing-masing 001 untuk grup. Dan, CD = xx itu bervariasi, tidak ada kesamaan dalam CD = xx untuk kelompok 4-sel. Karena ABCDE = 00xx1, kelompok 4 sel dicakup oleh A’B’XXE = A’B’E.

Peta hamparan 5-variabel di atas ditampilkan bertumpuk.
  
  5. K-Map 6 Variabel
      Di bawah ini, peta Karnaugh 6-variabel membantu penyederhanaan logika untuk pembanding berkekuatan 3-bit. Ini adalah tipe peta hamparan. Kode alamat biner di bagian atas dan bawah sisi kiri peta bukanlah kode lengkap abu-abu 3-bit.
      Padahal kode alamat 2-bit dari keempat sub map tersebut adalah kode Gray. Temukan ekspresi yang berlebihan dengan menumpuk empat sub peta di atas satu sama lain (ditampilkan di atas). Mungkin ada sel yang sama untuk keempat peta, meskipun tidak pada contoh di bawah. Itu memang memiliki sel yang umum untuk pasangan sub peta.

  
Output A> B di atas adalah ABC> XYZ pada peta di bawah ini.
      Jika ABC lebih besar dari XYZ, 1 diplot. Pada baris pertama ABC = 000 tidak boleh lebih besar dari nilai XYZ manapun. Tidak ada 1 di baris ini. Di baris kedua, ABC = 001, hanya sel pertama ABCXYZ = 001000 yang ABC lebih besar dari XYZ. Satu angka 1 dimasukkan di sel pertama dari baris kedua. Baris keempat, ABC = 010, memiliki pasangan 1s. Baris ketiga, ABC = 011 memiliki tiga angka 1. Jadi, peta diisi dengan 1s di sel mana pun yang ABC lebih besar dari XXZ
        Dalam mengelompokkan sel, bentuk grup dengan sub peta yang berdekatan jika memungkinkan. Semua kecuali satu kelompok 16-sel melibatkan sel dari pasangan peta sub. Cari grup berikut:
1 kelompok 16-sel
2 kelompok 8-sel
4 kelompok 4-sel
Kelompok 16-sel, AX 'menempati semua sub peta kanan bawah; meskipun, kami tidak melingkari gambar di atas.
       Satu kelompok 8-sel terdiri dari sekelompok 4-sel di sub peta atas yang menutupi kelompok serupa di peta kiri bawah. Kelompok kedua dari 8-sel terdiri dari kelompok 4-sel yang serupa di sub peta kanan yang melapisi kelompok 4-sel yang sama di peta kiri bawah.
       Empat kelompok 4-sel ditampilkan di peta Karnaugh di atas dengan istilah produk terkait. Bersama dengan istilah produk untuk dua grup 8-sel dan grup 16-sel, pengurangan Jumlah Produk akhir ditampilkan, ketujuh istilah tersebut.
        Menghitung angka 1 di peta, total ada 16 + 6 + 6 = 28 satuan. Sebelum pengurangan logika K-map akan ada 28 istilah produk dalam keluaran SOP kami, masing-masing dengan 6 masukan. Peta Karnaugh menghasilkan tujuh istilah produk dari empat masukan atau kurang. Inilah sebenarnya peta Karnaugh
      Diagram pengkabelan tidak ditampilkan. Namun, berikut adalah daftar bagian untuk komparator besarnya 3-bit untuk ABC> XYZ menggunakan 4 bagian keluarga logika TTL:
1 ea 7410 triple 3-input gerbang NAND AX ’, ABY’, BX’Y ’
2 ea 7420 dual 4-input gerbang NAND ABCZ ’, ACY’Z’, BCX’Z ’, CX’Y’Z’
1 ea 7430 8-masukan gerbang NAND untuk keluaran 7-P-istilah